わざわざ大晦日にやらなくても…

雑記

今年の10大ニュースとか、そう言うのはやりません（挨拶）
この時期、一年を振り返ってまとめる人は多いですが、私はやりませんよ？そもそもブログを始めてから4ヶ月しか経っていませんし、今年の初めにあったことなんて忘れt(ry


その代わりと言うわけではありませんが、今日はTeXを覚えていました。昨日発掘した数式をひたすら打ち込みながら練習していたわけなんですが、ややこしい式ですと、{}の数とかが良く分からなくなってきます（笑）。たとえば、

\frac{2^{\frac{n+1}{2}}\pi{\frac{n-1}{2}}}{\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!2^{\frac{n-1}{2}}}}

とか。
で打ち込んだ結果は↓です。何だかごちゃごちゃしているので隠しておきます。と言うか、途中の計算式を省略し過ぎです…。


そんなこんなで2005年も今日で最後ですが、良いお年を！（強引にまとめた）





（ここからTeXの練習）

n次元（nは自然数）における、ある 1 点からrの距離にある点およびその内部の点からなる集合が空間に占める度合いを{a_n}とする。{a_n}をnとrを用いて表せ。

{a_n}={b_n}r^{c_n}とおく。
{a_{n+1}}=\Bigint__{-r}^{r}{b_n}({\sqrt{{r^2}-{x^2}})^{c_n}dx
=\Bigint__{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{b_n}({\sqrt{{r^2}-{r^2}{\sin}^2(\theta)}})^{c_n}{\frac{dx}{d{\theta}}}{d{\theta}}
=2b_n\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{r^{c_n}}{{\cos}^{c_n}(\theta)}{r\cos(\theta)}d\theta
={2b_n}{r^{c_n+1}\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^{c_n+1}(\theta)}d\theta
{a_1}=2rより、{b_1}=2,{c_1}=1
よって、{c_n}=n
これを代入して、{a_{n+1}}={2b_n}{r^{n+1}\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^{n+1}(\theta)}d\theta
又、{a_n}={b_n}r^{c_n}={b_n}{r^n}より、{a_{n+1}}={b_{n+1}}{r^{n+1}}
したがって、{b_{n+1}}{r^{n+1}}={2b_n}{r^{n+1}\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^{n+1}(\theta)}d\theta
formdata=r>0の時、formdata=r^n>0
よって、{b_{n+1}}={2b_n}\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^{n+1}(\theta)}d\theta
ここで、\Bigint{{\cos}^n(\theta)}d\theta=\frac{{\cos}^{n-1}(\theta)\sin(\theta)}{n}+\frac{n-1}{n}\Bigint{{\cos}^{n-2}(\theta)}d\theta\;(n>2)
nが奇数の時、\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^n(\theta)}d\theta=\frac{(n-1)(n-3)...(2)(1)}{(n)(n-2)...(3)}
nが偶数の時、\Bigint__{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\cos}^n(\theta)}d\theta=\frac{(n-1)(n-3)...(3)(\pi)}{(n)(n-2)...(4)(4)}
よって、nが奇数の時、b_{n+2}=2\frac{(n)(n-2)...(3)(\pi)}{(n+1)(n-1)...(4)(4)}2\frac{(n+1)(n-1)...(2)(1)}{(n+2)(n)...(3)}b_n=\frac{2\pi}{n+2}b_n
b_n=\frac{(2)(2\pi)(2\pi)...(2\pi)}{(3)(5)...(n)}=\frac{2^{\frac{n+1}{2}}\pi{\frac{n-1}{2}}}{(1)(3)(5)...(n)}=\frac{2^{\frac{n+1}{2}}\pi{\frac{n-1}{2}}}{\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!2^{\frac{n-1}{2}}}}=\frac{{2^n}{(\frac{n-1}{2})!\pi^{\frac{n-1}{2}}}}{n!}
又、nが偶数の時、b_{n+2}=2\frac{(n)(n-2)...(2)(1)}{(n+1)(n-1)...(3)}2\frac{(n+1)(n-1)...(3)(\pi)}{(n+2)(n)...(4)(4)}b_n=\frac{2\pi}{n+2}b_n
b_n=\frac{(\pi)(2\pi)(2\pi)...(2\pi)}{(4)(6)...(n)}=\frac{(\pi)(\pi)(\pi)...(\pi)}{(2)(3)...(\frac{n}{2})}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{(\frac{n}{2})!}
以上より、nが奇数の時、a_n=\frac{{2^n}{(\frac{n-1}{2})!}}{n!}\pi^{\frac{n-1}{2}}r^n
nが偶数の時、a_n=\frac{1}{(\frac{n}{2})!}\pi^{\frac{n}{2}}r^n
r=0の時、a_n=0であるから、これらはr=0の時も成り立つ。

nに1から9までを代入すると…

a_1=2r
a_2=\pi{r^2}
a_3=\frac{4}{3}\pi{r^3}
a_4=\frac{1}{2}\pi^2{r^4}
a_5=\frac{8}{5}\pi^2{r^5}
a_6=\frac{1}{6}\pi^3{r^6}
a_7=\frac{16}{35}\pi^3{r^7}
a_8=\frac{1}{24}\pi^4{r^8}
a_9=\frac{32}{315}\pi^4{r^9}